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Comment fonctionnent les ventilateurs pour poêles ?

vendredi 8 novembre 2019 à 15:33

Mon ventilateur pour poêle.
On trouve dans le commerce (lien en bas de l’article) des ventilateurs pour poêles à bois censés améliorer le réchauffement de votre maison.

En temps normal, et quelque soit le type de chauffage, l’air chaud est moins dense que l’air froid, en conséquence de quoi il monte, stagne au niveau du plafond et vous n’en profitez pas beaucoup. Avec un ventilateur, l’air chaud au dessus du poêle est mélangé avec le reste de l’air et on obtient de l’air tiède partout dans la pièce et augmentant nettement le confort. De plus, ça vous évite d’avoir à chauffer comme un malade et fait donc faire des économies (jusqu’à 30 % selon les sources) :

Avantage d’un ventilateur.
Le ventilateur distribue l’air chaud dans toute la pièce. (image)

N’importe quel ventilateur fonctionne pour faire ça, mais premièrement ça peut faire du bruit, et deuxièmement le ventilateur consomme du courant.

Avec les ventilateurs présenté ici, il n’y a rien à brancher : il s’agit juste d’un socle à poser directement sur un poêle. Quand ce dernier est chaud, la chaleur remonte le socle, alimente un petit moteur et fait tourner le ventilateur.

L’objet de l’article est de décrire le fonctionnement de ces ventilateurs : comment un truc sans piles et sans branchements peut faire tourner un ventilateur électrique ?

Transformer la chaleur en mouvement ?

Dans ces appareils, c’est directement la chaleur du poêle qui provoque la mise en rotation du ventilateur. Il n’y a pas de pile ni de branchement à faire. La source d’énergie est le poêle lui-même.
Je connais 3 méthodes pour obtenir ça de façon aussi compacte : le moteur de Stirling, le moteur au Nitinol et le module Peltier.

Avec un moteur de Stirling

La première méthode est le moteur de Stirling : c’est un moteur thermique qui se met à tourner quand on réchauffe une de ses faces. Certains modèles tournent rien qu’avec la chaleur de la main, d’autres fonctionnent au dessus d’une tasse de café. Dans l’industrie, il en existe même qui produisent du courant électrique avec la chaleur obtenue par un concentrateur solaire.

J’ai un article dédié sur le moteur de Stirling, son fonctionnement et tout le reste : le moteur de Stirling miniature.

Le principal avantage de ce système est le bon rendement : l’énergie thermique est directement utilisé, sans passer par un moteur électrique. L’inconvénient c’est qu’il ne tourne pas très vite et que chauffer davantage ne le forcera pas à tourner plus vite, au delà d’une limite.

Bien qu’il existe des modèles utilisant un moteur de Stirling (à des fins de démonstration plus que d’utilisation), ce n’est pas ce système qui est utilisé généralement.

Avec un moteur au Nitinol

Une deuxième méthode possible serait d’utiliser un moteur au Nitinol, comme celui présenté dans mon article sur le Nitinol. Il s’agit d’utiliser les propriétés de mémoire de forme du Nitinol, un alliage nickel-titane.

L’idée est d’utiliser quelque chose comme ça :

Un petit moteur au Nitinol. (vidéo de @Physicsfun)

Le Nitinol, ici bouclé et donc courbée, tend à se raidir sous l’effet de la chaleur. De ce fait, quand il est trempé dans de l’eau chaude, il tire sur le fil. Si on initie le moteur en le faisant tourner, le fil plonge dans l’eau chaude et se raidit d’un côté et sort puis se relâche de l’autre. Ceci permet d’avoir un côté de la boucle qui est tirée en bas et l’autre tirée vers le haut, ce qui suffit à faire tourner la boucle et la roue.

On pourrait utiliser ce système pour faire tourner notre ventilateur. L’idéal serait de mettre un petit réservoir d’eau pour améliorer la conduction thermique. Le problème de ce système est que cela ajoute pas mal de pièces tournantes, et donc de l’usure et du bruit et qu’il faut surveiller le niveau de liquide en bas.

C’est donc possible, mais pas l’idéal non plus.

Avec un module Peltier

La dernière méthode utilise un composant électronique appelé un « module Peltier ». Il s’agit généralement d’une plaque de 5 cm × 5 cm et de quelques millimètres d’épaisseur :

Un module Peltier
Un module Peltier. (image)

Ce module, quand on l’alimente voit une face se réchauffer et l’autre se refroidir. Le plus souvent, c’est le côté froid qui est mis à profit (le côté chaud est alors ventilé) : c’est avec ça que fonctionnent les mini-frigos USB ou les réfrigérateurs de camping.

Ces modules ont une autre particularité : au lieu de produire du chaud et du froid quand on l’alimente, il est possible de faire l’inverse, à savoir réchauffer un côté et refroidir l’autre pour produire un courant électrique !

Ce système est par exemple utilisé dans les sondes spatiales lorsque des panneaux solaires ne peuvent pas être utilisés. Une source au plutonium (naturellement et continuellement chaude) réchauffe un côté. L’autre côté est exposé au froid du vide sidéral. Le module produit alors un courant électrique continu.

Ces mêmes modules — sans le plutonium — sont utilisés dans les ventilateurs pour poêles. La chaleur du poêle réchauffe le côté chaud et l’air de la pièce suffit à refroidir le côté froid. La différence de température est suffisante pour produire un courant électrique qui alimente alors le ventilateur électrique.

La source du fonctionnement du module Peltier est un peu compliquée, je vous invite à lire mon article qui l’explique plus en détail : produire de l’électricité avec de la chaleur : comment fonctionne un module Peltier.

Ce système a l’avantage d’être très silencieux et totalement autonome : dès que le poêle est chaud, la chaleur commence à réchauffer le socle puis un côté du module Peltier. Quand le courant produit par le module est suffisant, le ventilateur se met à tourner, brasser de l’air chaud et à réchauffer votre pièce de façon efficace.
Le ventilateur sert également en aspirer de l’air frais pour refroidir l’autre face du module Peltier (sans quoi les deux faces finissent à la même température et il ne produit plus de courant).

Conclusion

Les ventilateurs pour poêle sont rempli de sciences.

Sous leur apparence magique (ils sont totalement dénués de mécanique) se cache en réalité un concentré de physique : on peut y voir de la thermodynamique, des semi-conducteurs, de la physique des matériaux, mais aussi de l’électromagnétisme et de l’électricité dans le moteur, sans oublier la dynamique des fluides pour le ventilateur.

Certains modèles utilisent même une lame métallique sous le socle qui soulève la base quand la chaleur est trop grande (permettant alors de ventiler le socle et de réduire l’échauffement). Ceci est possible grâce à un bilame : une lame de métal qui se courbe sous l’effet de la chaleur, un système qui était autrefois utilisé pour faire fonctionner… les clignotants de voitures !

Bref, ce genre de gadget est un de ces trucs que j’aime : il fonctionne de façon passive et autonome, est joli à voir, ne consomme rien et en plus il est utile car il réchauffe la maison et fait faire des économies. Parfait pour l’hiver qui s’en vient.

Liens

Pour ma part j’ai fabriqué le miens (photo d’en-tête) d’après un concept existant mais plus commercialisé (voir le premier commentaire sous l’article), mais on peut en trouver en ligne. Il suffit de chercher « ventilateur pour poêle ». Perso je l’ai découvert sur Amazon, où on en trouve de plusieurs formes avec un seul ventilateur, ou avec deux ventilateurs, et de plusieurs formes, couleur et factures différentes.

Quant au moteur de Stirling miniature, pour ceux qui marchent avec la chaleur d’une tasse de café, c’est par ici, et ceux qui tournent directement sur la main (mais beaucoup plus cher) c’est ou .

image d’en-tête : travail personnel.

Comment fonctionnent les pierres d’humeur ?

jeudi 31 octobre 2019 à 05:21

Des pierres d’humeur.
Parmi les bijoux qui existent, on trouve les pierres d’humeur (de l’anglais mood stone). Ces pierres, posées sur une bague ou accrochées à un collier changent de couleur en fonction de notre humeur. Aussi, la couleur est censée nous indiquer nos états d’âmes : rose quand on est enjouée, vert quand on est chanceux, orange pour l’inspiration, rouge si on est passionné, etc.

Ces pierres changent réellement de couleur quand on les porte, mais comment font-elles ça ?

Une question de température

Déjà, le bijou ne fonctionne que si on le porte : sa couleur ne changera pas si on la regarde posée sur la table, même si notre humeur change entre temps. La raison est très simple : quand on la porte (sur une bague ou un collier), la pierre prend la température du corps, ou du moins elle y est soumise.

Notre corps change de température, et chaque région du corps réagit différemment en fonction de nos émotions : quand on est content, le corps se réchauffe, en état de peur ou de colère, ce sont nos membres qui se réchauffent ; si on est déprimé ou triste, le corps est plus froid. Les changements de température ne sont que de quelques degrés cependant et ne durent que quelques minutes avant de changer de nouveau.

Les pierres d’humeur peuvent réagir à ce changement de température corporelle, mais le plus gros des changements proviennent de la météo : si on va dehors en hiver, la pierre (comme votre peau d’ailleurs) va être soumise au froid, et si on entre à l’intérieur, elle va se réchauffer.

Ces pierres changent réellement de couleur et en font un objet très sympathique, mais le fait que cette dernière soit liée à votre humeur reste à démontrer.

D’où vient le changement de couleur ?

Ces bijoux ne sont pas sans rappeler les tasses thermoréactives, dont le motif change quand on verse une boisson chaude dedans. Ces tasses fonctionnent grâce à plusieurs produits chimiques au sein d’une couche de peinture, dont un produit thermosensible. Le produit thermosensible réagit à la chaleur et agit sur un pigment, qui devient alors visible. Si la tasse refroidit, le produit thermosensible se stabilise et rend l’encre de nouveau invisible. Les tasses fonctionnent par une action combinée de plusieurs composés chimiques.

Les pierres d’humeur fonctionnent d’une autre façon.

Déjà, ces pierres sont artificielles (souvent en verre) et sont recouvertes ou remplies d’une couche de peinture. Cette peinture contient des cristaux liquides : ce sont ces cristaux liquides qui donnent une couleur à la pierre.

Les cristaux liquides sont des fluides, mais leurs propriétés optiques sont proches d’un cristal solide (d’où leur dénomination). Dans ces bijoux, la température affecte la forme, l’orientation ou la structure des cristaux liquides, qui vont à leur tour voir leurs propriétés optiques modifiées.

Du point de vue optique, ceci se rapproche un peu des couleurs d’une plume de paon : ces plumes n’ont pas de pigments colorés. Les couleurs sont structurelles, c’est-à-dire qu’elles proviennent de la structure des écailles sur les fibres de la plume (visibles au microscope) et des interférences lumineuses que ces dernières induisent sur la lumière.

Dans les pierres d’humeur, le température modifie la forme et la structure des cristaux et le changement de forme se traduit par un changement dans les longueurs d’ondes absorbées ou renvoyées, et donc la couleur du bijou.

Ces couleurs « structurelles » ne sont pas rares : certains minéraux, certaines écailles de poisson, certains papillons, scarabées, libellules, ainsi qu’une tache d’huile ou d’essence sur une flaque d’eau sont colorées via cet effet. Ces couleurs sont assez reconnaissables : ce sont toujours les mêmes et on un aspect lumineux « métallisée ».

Conclusion

Il existe plusieurs façons d’obtenir un changement de couleur à partir de l’environnement : les pierres d’humeur et les tasses thermoréactives en sont deux exemples. Certains t-shirt qui changent de couleur en utilisant des pigments, des leuco-colorant, changent de forme et de couleur selon la température ou encore les lunettes photochromiques (qui noircissent dès qu’on sort dehors) en sont deux autres (bien que pour les lunettes, le noircissement est obtenu grâce à l’action de la lumière UV du Soleil).

Dans les pierres d’humeur des bijoux, on relie la couleur de la pierre à l’humeur d’une personne par l’intermédiaire de sa température corporelle.

Certains thermomètres médicaux (thermomètres frontaux) ou d’aquarium fonctionne exactement avec le même principe, en utilisant des cristaux liquides.

On trouve les pierres d’humeur un peu partout en ligne. Par exemple sur Etsy ou Amazon.

Image d’en-tête en provenance de la boutique LowCostCraftSupplies

Pourquoi mesurer une grandeur physique n’est pas aussi simple ?

lundi 21 octobre 2019 à 06:07

Image d’une mesure faite avec un chronomètre.
Mesurer est quelque chose que l’on fait tous les jours. Que ce soit la mesure de la vitesse en vélo ou en voiture, ou la mesure de 200 g de beurre et 125 g de sucre pour faire une tarte, puis les 210 °C nécessaires pour la cuire dans votre four, en passant par votre compteur électrique qui mesure la puissance consommée par le four et le mixeur.

Thermomètres, mètre ruban, double décimètre, verre à pied gradué, multimètre électrique, balance de cuisine ou le pèse-personne… les appareils de mesures sont partout.

… et aucun de ces appareils ne donne la valeur exacte de ce qu’il mesure !

Tous ne mesurent que des valeurs approchées de la valeur exacte, mais avec une incertitude (connue).

Ainsi, quand vous mesurez la longueur d’un trait sur une feuille avec une règle, il y a de très fortes chances que la fin du trait tombe entre deux graduations. La règle n’est pas graduée assez précisément pour donner la valeur exacte :

exemple d’une incertitude de mesure
Alors que faire ?

Ce problème est problème de métrologie : la science de la mesure.

Notion d’incertitude

Dans le cas de la règle ci-dessus, on peut donner une valeur approchée : « 1,8 cm » est valeur approchée. Elle ne représente pas la véritable valeur que l’on cherche à mesurer, mais elle donne une idée et est (en pratique) suffisante pour travailler.
Cette valeur est précisément définie mais n’est pas exacte : ce n’est pas la vraie valeur de la longueur du trait.

On peut aussi ajouter une information sur l’incertitude de mesure : le trait sur le papier mesure 1,85 cm ± 0,05 cm. Dans cette situation, on sait que le trait mesure entre 1,8 et 1,9 cm. Ce n’est pas précis, mais ici, c’est exact : la vraie valeur est dans l’intervalle donné.

Les termes « valeur vraie », « exactitude » sont des termes utilisés en métrologie. La valeur vraie est la valeur de ce qu’on cherche à mesurer. Elle n’est jamais mesurée exactement et donc toujours inconnue. L’exactitude, c’est le fait « d’être dans le vrai » : ainsi, quand je dis que mon trait plus haut mesure 1,85 cm ± 0,05 cm, je suis dans le vrai : cette information est exacte.

Le terme « précision » n’est pas un terme métrologique. Quand on donne une information où l’incertitude est faible, par exemple dire que 1,85 cm ± 0,05 cm est plus précis que « 2 ± 1 cm », on désigne la résolution de l’appareil de mesure, avec la notion de chiffres significatifs.
Dans la vie courante, une mesure sera précise si on dit « 1,864 ± 0,001 cm », mais ce n’est pas un terme métrologique, il faut le savoir.

Dans le cas d’une règle graduée, on augmente la « précision » de la mesure en utilisant une règle dont la graduation est plus petite : la règle a alors une meilleure résolution.

Ceci dit, il ne suffit pas toujours d’avoir un appareil de mesure avec une bonne résolution pour pouvoir mesurer correctement une grandeur : parfois, la mesure d’une grandeur elle-même fausse notre mesure !

Une mesure faussée par la mesure

Il s’agit du problème de la détermination de l’âge d’un arbre : pour connaître l’âge d’un arbre, on est obligé de le couper et donc de le tuer. C’est bête, car en le tuant, on termine la vie de l’arbre, que l’on veut mesurer. L’arbre aurait pu vivre encore un siècle de plus, mais on ne le saura jamais réellement.

Un autre exemple, plus concret : on désire connaître la température d’un verre d’eau. Sa température est supposée être exactement 80 °C, mais on ne la connaît pas et on va chercher à la mesurer. On utilise pour ça un thermomètre à mercure supposé parfait : la valeur qu’il affiche est exactement celle qu’il mesure.

On plonge donc un thermomètre dans l’eau et ce dernier finit par afficher 75 °C. dans la vie courante, on en déduira que l’eau est et était à 75 °C et on s’arrête là.
Pourtant il y a manifestement une erreur : le thermomètre affiche 75 °C au lieu de 80 °C ! Or il est parfait. Que s’est-il passé ?

Réponse : le thermomètre était froid !

Un thermomètre à mercure mesure la dilatation du liquide (ici, du mercure) sous l’effet de la température. En mesurant cette dilatation, on obtient une information sur la température. Facile.
Or, le thermomètre ne mesure donc pas la température de notre eau, mais la température du mercure. Sauf que pour que le mercure puisse monter en température, il doit puiser de la chaleur dans l’eau. Résultat, si le thermomètre chauffe, l’eau refroidit et l’ensemble s’équilibre. La mesure finale — les 75 °C — correspond à cet équilibre entre l’eau et le mercure.

Alors que faire pour avoir une mesure plus précise ?

On pourrait préchauffer le thermomètre, mais comment savoir à quelle température préchauffer le thermomètre, car c’est justement cette température que l’on cherche ?

La seule chose que l’on peut faire ici, c’est connaître le thermomètre : savoir de combien il fausse la mesure de la température de l’eau lors d’une mesure. Mais là encore, pour construire cette table, il faudra bien connaître la température initiale de l’eau servant à étalonner le thermomètre.

Tout ceci est un exemple où la méthode de mesure n’est pas adaptée, car elle fausse la mesure.
On peut réduire l’influence du thermomètre, en prenant un thermomètre plus petit (donc moins de mercure à chauffer) et un volume d’eau plus grand. L’influence du thermomètre sera réduit, mais jamais totalement éliminé.

En pratique, on cherche toujours à déterminer l’influence d’un appareil de mesure sur la mesure qu’il fait. Cette phase fait partie de la phase d’étalonnage de l’appareil.

Comment sont étalonnés les appareils de mesure

Un autre exemple : quand on mesure une puissance électrique à l’aide d’un wattmètre, ce dernier est un appareil électrique et donc qui consomme de l’énergie pour fonctionner. La puissance consommée est donc augmentée simplement par la présence du wattmètre. Aussi, le wattmètre n’est pas fonctionnel quand il tourne à vide, donc impossible de mesurer sa consommation à vide. La solution c’est de brancher dessus un appareil dont la puissance est déjà connue… car mesurée avec un autre appareil. Dans ce cas, on a repoussé le problème, mais il n’est — de nouveau — pas éliminé.

En métrologie, on étudie les moyens de faire les meilleurs mesures possibles. Pour le wattmètre, il s’agit de repousser le problème à un niveau suffisamment fondamental pour avoir une mesure la plus exacte possible.
Ce wattmètre est étalonné avec un appareil d’une puissance connue. Cet appareil est lui-même étalonnée avec un voltmètre et un ampèremètre, eux-mêmes étalonnés.

Le fonctionnement d’un voltmètre et d’un ampèremètre reposent sur des bobines électriques et des champs magnétiques. Ces bobines ont un diamètre et une longueur totale de fil connus. Du coup, en mesurant la longueur du fil de cuivre dans ces deux appareils, on étalonne ces appareils et ainsi de suite on redescend jusqu’à notre wattmètre.

Bien-sûr, la mesure de la longueur du fil de la bobine du voltmètre porte elle-même une incertitude, liée à l’appareil de mesure de longueur (une règle graduée par exemple). Cette règle est elle-même rattachée à la définition du « mètre » émise par le bureau international des poids et mesures (BIPM).

Au final, l’incertitude — connue — associée à notre règle graduée se propage dans la mesure de la longueur de la bobine du voltmètre et de l’ampèremètre, puis dans celle de l’étalonnage du wattmètre, et ainsi de suite jusqu’à l’appareil dont on mesure la puissance.

Le résultat est alors exprimé avec son incertitude, par exemple ainsi :

$$1200 \text{W} \pm 2 \text{W}$$

L’incertitude fait partie de l’information sur la puissance de cet appareil.

Plus généralement, tous les appareils de mesure un tant soit peu sérieux sont vendus avec un certificat d’étalonnage, qui donne l’incertitude de mesure associée à chaque mesure. Ceci est toujours le cas pour du matériel métrologique professionnel.

Tout bon appareil de mesure vient avec un certificat d’étalonnage, qui permet de retracer toute la chaîne des instruments qui ont permis à l’étalonner, de l’appareil en question jusqu’aux définitions des étalons métrologiques nationaux (ou des équations fondamentales qui définissent les unités de base de la science).

Pourquoi tout ça ?

Dans la vie courante, il n’y a pas mort d’homme si l’on vous sert 21 cL de vin au lieu de 20 cL, et personne n’a l’idée d’utiliser un verre gradué et étalonné pour se faire servir au restaurant.

Mais dans l’industrie ou dans un hôpital… c’est une autre histoire : 1 cL d’une solution médicamenteuse en plus ou en moins peut avoir des conséquences dramatiques.

D’un point de vue normatif, ceci est nécessaire et peut être utile en cas de problème : si un appareil est défectueux et a causé un dommage (corporelle ou matériel), il est nécessaire de trouver le responsable.
Si le client (utilisateur de l’appareil) a mal utilisé l’appareil, ce n’est pas la même chose que si l’appareil a connu un dysfonctionnement lié à sa conception.

Pour ça, dans l’industrie, les appareils sont vérifiés de façon scrupuleuse et chaque vérification est enregistrée, ainsi que les appareils qui ont permis de faire cette vérification. De cette façon, l’industriel est en mesure de garantir qu’il a bien fait son travail (si c’est le cas), ou au contraire se rendre compte que le responsable du dommage… et bien c’est lui.

Mieux, si un dysfonctionnement est constaté sur un appareil, il peut être nécessaire de vérifier l’ensemble des appareils produits en même temps, pour vérifier que les autres appareils ne sont pas dangereux à utiliser. C’est couramment le cas en aéronautique : si un avion pose problème, tous les autres avions du même modèle peuvent être cloués au sol.

image d’en-tête de Miguel Angel Huicochea Maldonado

Comment extraire de l’énergie d’un trou noir ?

jeudi 3 octobre 2019 à 07:23

Simulation numérique d’un trou-noir.
Cet article fait partie d’une série sur le futurisme : l’étude de la technologie, de la sociologie et de la science du futur, et plus généralement, du futur de notre espèce… si jamais on arrive à un niveau d’évolution suffisant pour, par exemple, coloniser la galaxie.

J’ai déjà fait un article sur les mégastructures artificielles, qui permettent de voyager à travers la galaxie sur des arches géantes ou de déplacer des étoiles. Certaines mégastructures sont destinées à extraire la totalité de l’énergie d’une étoile. Or, comme je l’explique dans mon article sur la fin des étoiles, dans un futur suffisamment lointain (on parle de $10^{100}$ années dans le futur au moins), il n’existera plus d’étoiles du tout : toutes auront consommé leur hydrogène et l’univers sera indéfiniment froid et sombre.

Les seules choses qui subsistent dans un univers en état de mort thermodynamique, seront des trois noirs, des étoiles à neutrons et des étoiles de fer. Dans ces conditions, comment survivre ?

Cette idée n’est en fait que la suite de notre évolution et notre histoire, à savoir d’utiliser quoi que ce soit que nous ayons à disposition pour en extraire la moindre quantité d’énergie possible. Dans cet article, on va voir comment on peut extraire de l’énergie des trous noirs, qui sont des astres dont on dit généralement que rien ne s’échappe, incluant la lumière.

Il y a une multitude de façons d’utiliser un trou noir comme source d’énergie, certaines plus loufoques que d’autres, mais dans tous les cas, nul besoin d’attendre la mort de l’univers pour les exploiter et encore moins en parler ou les présenter.
Notez que je me limite ici à une exploitation pacifique d'un trou noir. Il est clair qu'un objet comme un trou noir ayant une densité énergétique quasi-infini peut également servir d'armes...

Avec une quasi-étoile

Vue d’artiste d’un trou noir géant.
Un trou noir, dont le rayonnement émis par le disque d’accrétion peut être capté. (image ©Archange1Michael utilisée avec autorisation de l’artiste)

Une quasi-étoile n’est pas une petite étoile dont la taille l’empêche d’être une vraie étoile. Au contraire, il s’agit d’une étoile si immense que son cœur est constitué d’un trou noir, et que l’énergie rayonnante provient essentiellement de l’échauffement de la matière tombant dans le noir. Ce rayonnement empêche l’effondrement des couches supérieures de l’étoile et lui permet de briller.

Il n’existe plus de quasi-étoiles aujourd’hui : de telles structures monstrueusement grandes (10 000 masses solaires et un diamètre suffisant pour englober tout le système solaire) n’ont pu exister qu’au tout début de l’univers, car il faut une immense quantité d’hydrogène au même endroit, sans pour autant tout tomber et former un trou noir immédiatement : une partie du gaz doit orbiter le trou noir.

Si la nature n’en produit pas, ces quasi-étoiles peuvent être construites à partir d’un trou noir existant et de façon artificielle (on parle bien-sûr d’artifices par des civilisations de type 3+ sur l’échelle de Kardashev). Le résultat serait un astre gigantesque et dont le rayonnement émis serait lui aussi immense.

Dans le cas où on dispose de quantités virtuellement illimitées en hydrogène et en hélium, et un besoin en énergie qui soit important et ponctuel, une quasi-étoile peut être une solution.

Avec un trou noir transportable

Image d’artiste d’un trou noir lointain.
Un trou noir, même tout petit est si dense que sa masse dépasse l’entendement. En revanche, plus sa taille est faible, plus son rayonnement est important, et donc exploitable (image : Matthew Van Dusen)

Utiliser un phénomène extrême dans un objet quotidien n’est pas nouveau : un moteur de voiture est juste ça : le carburant explose sous des pressions et des températures importantes. Plus fort, dans un sous-marin ou un porte-avion nucléaire, c’est un réacteur nucléaire qui produit l’énergie nécessaire à la propulsion du bâtiment. Utiliser un trou noir comme générateur d’énergie dans un vaisseau spatial géant semble l’étape suivante.

Si un trou noir n’émet pas de matière ni de lumière (hormis le rayonnement de Hawking), la matière qui tombe dans le trou noir et qui accélère vers le trou noir, accélère et tourbillonne autour, avant de disparaître à jamais. Cette matière forme un disque d’accrétion qui lui est bien visible. En fait, la matière qui tourbillonne dans le disque d’accrétion d’un trou noir va tellement vite qu’elle rayonne des quantités importantes de rayons X à tel point qu’une importante source de rayonnement X dans une galaxie constitue à coup sûr le foyer d’un trou noir.

Si l’on dispose d’un trou noir de taille transportable au sein d’un vaisseau spatial immense, il suffit de jeter de la matière en direction du trou noir pour qu’elle s’accélère, s’échauffe puis rayonne. On peut alors capter ce rayonnement intense.

Le rayonnement lui-même ne constitue pas une « extraction » de l’énergie du trou noir : le trou noir ne perd ni énergie ni masse au cours de ce processus. Il s’agit d’une méthode pour produire de l’énergie impliquant un trou noir. Cette méthode reste particulièrement intéressante. L’énergie émise par rayonnement provient de la vitesse des particules et de sa chaleur (issue des collisions de particules entre-elles, mais aussi par des effets relativistes, comme l’effet Unruh), mais comme tout rayonnement, il correspond à une masse convertie en énergie.

Dans un processus chimique (moteur à explosion, bougie, poêle à bois…), seule 0,0001 % de la masse est convertie en énergie. Si l’on brûle 1 tonne de bois, alors les cendres et les gaz produits ne pèsent que 999,999 kilogrammes : le 1 gramme restant est convertie en chaleur.
Dans un réacteur nucléaire, le taux de conversion masse-énergie est plutôt de 0,1 % : cette source d’énergie est 1 000 fois plus concentrée que les énergies chimiques.
Avec un trou noir, on parle d’environ 6 % de conversion masse-énergie au cours du processus : il s’agit donc d’une source d’énergie encore plus concentrée qu’un réacteur nucléaire : un bout de matière de la taille d’un sucre produirait la même énergie qu’une tonne de bois. Enfin, juste pour le mentionner, une source d’énergie basée sur l’anti-matière, elle, aurait un taux de conversion masse-énergie de 100 %.

Si jamais on construit un réacteur à trou noir, ce dernier serait probablement invisible. Un trou noir est une masse extrêmement concentrée : un trou noir de la taille d’une bille possède une masse similaire à celle de la Terre.

Quand je parle d’un trou noir transportable, il faut imaginer un trou noir de 1 000 000 tonnes environ. Ça semble énorme, mais il aurait la taille d’un noyau atomique ! Il reste néanmoins possible de récupérer de l’énergie en envoyant de la matière dessus.

Simple détail cependant : un trou noir d’un million de tonnes (à cause de sa petite taille) aurait un rayonnement de Hawking d’environ 3 500 milliards de watt. Il n’est pas nécessaire de jeter de la matière dedans : il suffit de récupérer cette énergie directement, ce qui nous emmène au point suivant…

Capter le rayonnement de Hawking

Étapes de l’émission d’un jet de particules d’un trou noir.
Un jet de particules émis d’un trou noir. (image)

Bien que rien ne puisse s’échapper d’un trou noir, Stephen Hawking a émis l’hypothèse de l’existence d’un rayonnement très spécifique : le rayonnement de Hawking. Ce rayonnement naît des paires particules-antiparticules qui sont émises par le vide en empruntant de l’énergie au vide, et qu’elle absorbe aussitôt.
Selon Hawking, il peut arriver que cette paire se forme près de l’horizon des événements du trou noir (sa « surface »). Les forces de marée du trou noir sont suffisantes pour séparer la particule et l’anti-particule avant que ces dernières ne sont réabsorbées par le vide. L’une des particules tombe alors dans le trou noir. Cette particule étant sortie du vide en empruntant de l’énergie au vide possède une « énergie négative », qui, absorbée par le trou noir, en réduit la masse. L’autre particule quitte l’horizon des événements, en dehors du trou noir.

L’avantage (ou au moins la particularité) de ce méthode est que le rayonnement augmente plus le trou noir est petit ! Le rayonnement de Hawking dépend de l’intensité des forces de marées, qui augmente quand le trou noir est petit. Plus le trou noir rétréci, plus son rétrécissement s’accélère et plus son rayonnement est intense.

Un petit trou noir de seulement 1 000 000 de tonnes émet ainsi 3,5×10¹⁴ watts, a une température de 10¹⁴ kelvin et s’évapore intégralement en 2 000 ans (et est plus petit qu’un proton).
Pour une masse de 10 000 tonnes (donc 100 fois moins massif), le rayonnement est de 3×10¹⁸ W, la température de 10¹⁶ K et la durée avant évaporation de seulement 18 heures.

Arrivé à 1 tonne, son rayonnement total est le même que le Soleil (~10²⁶ W), sa température de 10²⁰ K, et il ne lui reste que 74 nanosecondes avant disparition totale.

On comprend donc qu’il faut faire très attention : il faut un trou noir suffisamment léger pour être transporté dans un vaisseau, sans pour autant brûler toute la matière à des millions de kilomètres à la ronde. Il faut donc faire attention à l’alimenter correctement, sous peine de voir sa masse se rétrécir trop, trop vite et de le voir exploser.

Dans l’hypothèse d’une civilisation assez avancée pour pouvoir manipuler des trous noirs, on peut penser que de tels engins soient possibles, même si des accidents ne sont pas à exclure.

Pour les valeurs numériques, voici un petit calculateur : Calculateur de rayonnement de Hawking

Par le processus de Penrose

Les trous noirs déforment l’espace-temps : leur masses, densités, et gravité étant telles que les lignes de l’espace-temps sont irrésistiblement aspirées en direction de la singularité au centre (l’endroit où toute la masse se « perd »). Dans certains cas, comme le cas d’un trou-noir en rotation (résultant de l’effondrement d’une étoile géante en rotation), les lignes de l’espace-temps spiralent autour du trou noir, un peu comme un siphon. Ce phénomène est nommé la précession de Lense-Thirring. La région en dehors de l’horizon des événements où l’espace-temps est aspiré dans le trou noir est appelée l’ergosphère.

Un vaisseau spatial se présentant dans l’ergosphère se verrait alors entraîné et mis en rotation autour de l’astre, tout en étant toujours capable de s’échapper du trou noir, car il n’a pas franchi l’horizon des événements. L’accélération gagnée par le vaisseau se traduit alors par un gain de sa vitesse.

En s’éloignant du trou noir, le vaisseau conserve la vitesse et son énergie cinétique acquise dans l’ergosphère. Cette énergie est alors « volée » au moment cinétique du trou noir : ce phénomène se nomme le processus de Penrose, en l’honneur à Roger Penrose qui décrivit cette possibilité en 1971.

Pour essayer de comprendre, on peut prendre un cylindre ou une roue en rotation dans l’air : la roue entraîne l’air et il apparaît une couche d’air en rotation juste au-dessus de la roue. Si vous envoyez un avion en papier à cet endroit, l’avion en papier recevra une poussée de la part de l’air, et ce que l’avion gagne en vitesse, la roue perd en rotation.

Un peu à la manière de l’assistance gravitationnelle, cette méthode permet à un vaisseau ou une sonde spatiale de voler de l’énergie à un astre, ici, l’énergie de rotation du trou noir.
L’énergie de rotation d’un trou noir est ici captée, mais la masse du trou noir lui-même n’est pas réduite. C’est un peu tordu, mais je conserve cette idée dans cet article tout de même car je trouve cela astucieux.

Si toute l’énergie de rotation du trou noir est récoltée, le trou noir cesse de tourner et devient un trou noir ordinaire (trou noir de Schwartschild — le trou noir en rotation étant un trou noir de Kerr).

Par le processus de Blandford–Znajek

Un trou noir aspirant l’atmosphère d’une étoile géante qui s’approche un peu trop près.
Le trou noir aspire la matière périphérique de l’étoile géante voisine. La matière s’accumule dans le disque d’accrétion du trou noir (en jaune/orange), où elle est accélérée, ionisée, chargée et une partie de la matière se retrouve éjectée par deux jets au niveau des pôles du trou noir. (image : NASA/CXC/M.Weiss)

Cette méthode est une conséquence de l’effet de Lense-Thirring (mise en rotation de l’espace temps dans les régions avoisinant l’équateur d’un astre rotatif).
Si des particules chargées (protons, électrons, positrons…) se retrouvent pris dans l’ergosphère (zone en dehors du trou noir mais qui voit l’espace temps se déformer et aspiré dans le trou noir), ces particules sont mises en rotation également. Cette rotation de particules chargées induit alors l’apparition de champs magnétiques très puissants.

L’action de ces champs magnétiques sur les particules leur confère d’importantes quantités d’énergie, dont elles se délestent par émission de photons qui vont eux-mêmes se décomposer en paire électron-positron (par équivalence masse-énergie, toujours).

Ces électrons et ces positrons chargées différemment suivent alors des trajectoires opposées. La forme toroïdale de l’ergosphère dirige les champs magnétiques des pôles vers l’équateur. Les positrons suivent alors une trajectoire dirigée vers les pôles du trou noir, d’où ils sont ensuite éjectés via des jets très intenses de matière et de rayons X. Les électrons, quant à eux, sont aspirés par le trou noir au niveau de l’équateur.

L’image typique et populaire du trou noir avec ses deux jets de rayons X émanant des pôles provient de ce phénomène, et l’énergie de ces jets de particules chargées est tirée d’une conversion de l’énergie de rotation du trou noir en champs électriques, en positrons et en mouvement de ces derniers.

Capter l’énergie de ces positrons reviendrait alors à puiser l’énergie (de la rotation) du trou noir.

Pour info, quand ces jets de matière chargée sont dirigés vers la Terre, ils sont visibles et prennent le nom de quasar. Les mesures montrent que ces jets de matière par un trou noir sont parmi les phénomènes les plus lumineux de l’univers, avec une puissance typique de $10^{40}$ W, soit autant qu’une galaxie.

Lorsque de tels jets sont produits au niveau d’une étoile à neutrons en rotation, les jets X sont dirigés selon l’axe magnétique de l’étoile à neutrons. De même que pour le quasar, si le faisceau croise la position de la Terre, leur rotation produit des faisceaux clignotants très rapides : ce sont les pulsars.
Ces pulsars sont si réguliers que leur fréquence de pulsation constitue une signature de l’astre. Notre position dans l’univers proche est déterminée par notre position par rapport à des pulsars ; un peu comme un système GPS, mais basée sur des rayons X émis par des pulsars. Ce système porte le nom de XNAV et pourrait être utilisée par des vaisseaux spatiaux intergalactiques.

Par effet Oberth

Un vaisseau en approche d’un trou noir.
Un vaisseau approche du trou noir pour en extraire de l’énergie. (image © Smiling-Demon, reproduite avec son autorisation)

Ceci est un cas particulier de l’assistance gravitationnelle. Quand une sonde spatiale utilise l’assistance gravitationnelle pour gagner de la vitesse, elle rattrape une planète sur son orbite, accélère lors de l’approche, puis s’en éloigne transversalement de l’orbite. De cette façon, la phase d’approche est plus longue et dans le sens de déplacement de la planète, et la phase d’éloignement plus courte et dans l’autre sens. Le résultat est qu’une partie de l’énergie cinétique de la planète est transmise à la sonde.
Généralement, les sondes spatiales font plusieurs assistances gravitationnelles autour de plusieurs planètes, pour gagner quelques km/s à chaque fois, ce qui est non négligeable.

L’assistance gravitationnelle est possible parce que les planètes sont elles-mêmes en mouvement sur leur orbite. L’énergie gagnée par la sonde est alors perdue par la planète sur son orbite.

Une telle assistance gravitationnelle ne serait pas possible avec un astre immobile, comme le Soleil dans le système solaire. Notre étoile (dans le référentiel héliocentrique du moins) n’est pas en mouvement et il n’y a donc pas d’énergie cinétique à lui prendre.

L’effet Oberth entre en jeu à ce niveau : s’il est impossible de voler de l’énergie à un astre immobile, ce n’est pas pour ça qu’on ne peut pas optimiser l’énergie des réacteurs de la sonde (ou de la fusée).

Une fusée fonctionne en éjectant des gaz en arrière de façon à pousser la fusée vers l’avant. Or, on montre que le gain en énergie est plus efficace à haute vitesse qu’à basse vitesse, même si le gain en vitesse est identique et le travail fourni par les moteurs identiques aussi.
Ainsi, pour une fusée de 1 kg qui passe de 0 m/s à 10 m/s, le gain en énergie cinétique est de 50 joules. La même fusée qui passe de 100 m/s à 110 m/s gagne pas moins de 1 050 joules, alors que dans les deux cas le gain en vitesse est de 10 m/s !

La différence ne sort pas de nulle part : elle s’explique par la répartition de l’énergie après le fonctionnement du moteur.
Quand la fusée est à l’arrêt, l’intégralité du travail du moteur est transmis au gaz éjecté. Quand la fusée décolle, une partie du travail commence à être transmis à la fusée plutôt qu’aux gaz. La proportion d’énergie captée par la fusée est encore plus importante à très haute vitesse. En effet, la fusée et le carburant sont déjà en mouvement et le carburant possède lui aussi son énergie cinétique. Dans ce cas là, quand on allume les moteurs, non seulement une plus grande partie de l’énergie de la combustion est transmise à la fusée, mais une partie de l’énergie cinétique du carburant (en mouvement avec la fusée) est récupérée et captée par la fusée.

Il est donc possible, pour la fusée, de récupérer davantage d’énergie que ce que produit le moteur par combustion, simplement en récupérant l’énergie cinétique possédée par le carburant qui se trouve dans la fusée. Or, cette énergie cinétique peut provenir de n’importe où, y compris de la vitesse gagnée en s’approchant d’un astre ! C’est là l’idée derrière l’effet Oberth.

L’effet Oberth consiste à envoyer la fusée pleine de carburant sur une trajectoire proche d’un astre très massif — et donc sur une orbite très rapide — puis d’allumer les moteurs quand la fusée est au plus proche de l’astre (au périastre) puis s’éloigner de l’astre.

Évidemment, ici, le rôle de l’astre très massif est tenu par le trou noir. On ne récupère ici pas d’énergie du trou noir, mais on optimise le fonctionnement des moteurs de la fusée grâce à la présence du trou noir.

Références

image d’en-tête de Stuart Rankin

Pourquoi la direction de la lumière change-t-elle quand elle pénètre dans l’eau ?

lundi 23 septembre 2019 à 14:38

Images en couleurs réelles d’une lumière blanche décomposée par un prisme.

Cet article fait partie d’une série d’articles sur la lumière.
Bien que ce ne soit pas nécessaire pour comprendre cet article, je vous en conseille la lecture si le sujet vous intéresse :

La question dans le titre peut être réécrite en termes plus savants : « pourquoi existe-t-il un angle de réfraction ? »

Pourquoi dévier ?

Dans mon article sur la diminution de la vitesse de la lumière dans l’eau ou le verre j’explique comment la matière interagit avec une onde lumineuse et comment ça se traduit (par interférences successives) par un ralentissement de la lumière. Dans le verre, par exemple, la lumière se déplace environ 35 % moins vite que dans le vide, ce n’est donc pas rien.

Ce ralentissement, qui dépend du milieu transparent, est lié à la notion d’indice de réfraction optique, noté $n$. En réalité, l’indice de réfraction est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide $c$ sur la vitesse de la lumière dans le milieu transparent $v$ :

$$n = \frac{c}{v}$$

Ok, avec ça on sait que la lumière va moins vite dans l’eau ou le verre, mais ça n’implique en rien un changement de direction : on peut très bien ralentir tout en continuant sur la même trajectoire rectiligne :

Si la lumière se déplaçait en ligne droite.
Si la lumière se déplaçait en ligne droite.

Dans les faits, on observe bien une courbure :

La lumière est courbée quand elle passe d’un milieu transparent à l’autre.
La lumière est déviée quand elle change de milieu.

On se rend compte que la lumière effectue une action supplémentaire qui complique les choses par rapport à un déplacement en ligne droite. Pourquoi fait-elle ça ?

La lumière ne pense pas

Les observations montrent que la lumière ralentit quand elle traverse des milieux transparents autre que le vide (eau, verre, diamant…). Dans ces conditions, on peut chercher ce qui pousse la lumière à dévier.

Une idée est de noter que le trajet dans l’eau se fait avec une vitesse réduite. Autrement dit, plus elle passe de temps dans l’eau, plus elle perd du temps. La lumière va donc emprunter une trajectoire qui minimise le temps passé dans l’eau et maximise le temps passé dans l’air, histoire de ne pas perdre plus de temps qu’il n’en faut.

Cette idée convient d’un point de vue énergétique : plus le trajet est rapide, moins il dépense d’énergie. Ceci rejoint également le théorème de Fermat, aussi nommé « principe de moindre action ». Ce théorème très connu dit dans le cas de la lumière que cette dernière emprunte le chemin le plus court temporellement pour aller d’un point A à un point B. Ce théorème est démontré : le trajet que la lumière emprunte est bien celui qui demande le moins d’énergie.

Là où je n’aime pas vraiment cette explication, c’est qu’elle semble suggérer que la lumière « pense ». Comment sait-elle que pour aller d’un point A à un point B, elle doit effectuer un crochet en C et effectuer un virage ?

La lumière sait qu’elle doit changer de cap ?
Bien-sûr, la lumière n’est qu’une onde lumineuse : elle ne pense pas.
D’ailleurs, je n’aime pas non plus dire que la lumière voyage d’un point A à un point B en passant par C : la lumière n’a pas de destination. Elle avance, c’est tout. Ce sont les obstacles qu’elle rencontre qui modifient sa trajectoire.

Plutôt que dire « La lumière, pour aller de A vers B, doit passer par C » je préfère dire « la lumière suit une ligne droite entre A et C, est déviée, et cette déviation l’envoie sur B ».

Si on veut que notre rayon de lumière voyage de A vers B, oui, cela implique qu’elle passe par C. Mais si on remplace l’eau par du verre, le rayon de lumière touchera toujours le verre au point C, mais il ne passera plus par B : il loupera sa cible.

La lumière n’a pas de destination précise : si l’on souhaite que sa trajectoire relie deux points, c’est à nous de placer l’eau et le verre au bon endroit pour que le rayon issu de A arrive bien en B.

J’insiste sur ça, mais c’est important : la lumière avance, est déviée, mais elle ne choisit pas d’aller un peu plus loin dans l’air pour faire moins de trajet dans l’eau : non, son trajet initial est déjà celui qu’elle emprunte au départ, et c’est l’eau qui la dévie ensuite avec un angle bien précis.

Bien, maintenant qu’on a clarifié ce point, on peut entrer dans les détails et expliquer comment la lumière est déviée.

Huyghens ou Maxwell ?

Si vous avez lu mon article sur la réflexion de la lumière sur un miroir, vous savez qu’on peut décrire un phénomène de plusieurs façons. Pour l’angle de réfraction il en sera de même.

Dans l’article de la réflexion, j’ai utilisé le principe de Huygens parce qu’il est parlant. On peut l’appliquer ici et on aura le bon résultat : les ondes réémises par les électrons à la surface sont plus rapprochées, avancent moins vite, et donc le front d’onde est dévié.
Mais on se retrouvera également avec les mêmes limitations de ce principe, à savoir qu’on a encore plusieurs fronts d’ondes possibles. Ici donc, je ne vais pas employer le principe de Huygens et passer directement avec une explication impliquant les équations de Maxwell.

Avec la théorie de Maxwell

Dans le cadre des équations de Maxwell, on considère la lumière comme une onde électromagnétique. Comme je l’explique dans mon article sur ces équations, les composantes électriques et magnétiques sont couplées et l’on passe de l’une à l’autre par un peu de calcul différentiel. Dans ce qui suit, nous ne considérerons que la composante électrique de l’onde lumineuse.

La composante électrique oscille de façon perpendiculaire au sens de déplacement de l’onde : si l’onde va vers l’avant, alors le champ électrique oscille de gauche à droite. Quand une onde arrive avec une trajectoire inclinée sur une surface, on peut représenter le champ électrique, perpendiculairement aux rayons :

Le champ électrique de la lumière.
Le champ électrique oscille de façon perpendiculaire à la direction du rayon lumineux.

On voit que ce champ électrique, comme la direction de propagation de l’onde, est incliné. On peut le décomposer : on obtient alors une composante horizontale (ou tangentielle à la surface de l’eau), et une composante perpendiculaire (ou normale à la surface) :

Décomposition vectorielle de la direction de la lumière.
Le champ électrique peut être décomposé en une composante normale $E_n$ et une composante tangentielle $E_t$.

Maintenant faisons pénétrer le rayon dans l’eau. Les équations de Maxwell nous disent deux choses :

  1. que la composante tangentielle n’est pas modifiée : au niveau de l’interface air-eau, cette composante est conservée et reste identique lors du passage de l’air à l’eau. L’oscillation selon l’axe « gauche-droite » du champ électrique reste identique : $E^{\prime}_t = E_t$ ;
  2. que la composante normale, quant à elle, est modifiée et réduite d’un facteur $\frac{\epsilon_{air}}{\epsilon_{eau}} \lt 1$, donc $E^{\prime}_n \lt E_n$.

En somme : la composante horizontale est identique, mais la composante verticale est réduite. Si on fait un schéma :

Schéma du champ électrique qui pénètre dans l’eau.
En passant dans l’eau, la composante normale $E'_n$ du champ électrique est réduite.

On le voit déjà : le vecteur $E'$ semble aplati. Sa direction a aussi changé légèrement à cause de ça. Or, comme le rayon de lumière est toujours perpendiculaire au champ électrique, ce dernier est dévié. L’angle du rayon transmis est différent de l’angle du rayon incident :

Résumé de la transmission du rayon à l’interface air-eau.
En résumé, le rayon est bien courbé quand il pénètre dans un autre milieu transparent.

Notez que si le rayon de lumière continue son trajet, il va ressortir de l’eau de l’autre côté. À cet endroit, on aurait un allongement de la composante normale, et le rayon est dévié un peu plus vers la droite. Il retrouverait alors une trajectoire parallèle à sa trajectoire initiale.

Et ce « $\epsilon$ » ?

Dans ce qui précède, il y a ce facteur $\frac{\epsilon_{air}}{\epsilon_{eau}}$ qui semble sorti de nulle part.

Au sein des équations de Maxwell, $\epsilon$ (« epsilon ») représente un paramètre qui dépend du milieu : la permittivité diélectrique relative du milieu. Ce paramètre traduit la résistance à la propagation d’un champ électrique de ce milieu.

Dans l’air, sa valeur est proche de celle du vide, soit 1. Dans l’eau, sa valeur est de 1,77. C’est ce paramètre qui est responsable du ralentissement de la lumière dans un matériau et de tout ce qui en découle : indice de réfraction, déviation…

On peut retrouver l’indice de réfraction de l’eau grâce à cette grandeur, ce n’est pas très compliqué.

Commençons par l’expression de l’indice de réfraction du milieu :

$$n_{eau} = \frac{c}{v_{eau}}$$

On a vu dans le précédent article que la vitesse de la lumière dans le vide, $c$, s’exprime en fonction de la perméabilité magnétique $\mu$ et la permittivité diélectrique $\epsilon$, dans le vide et dans l’eau de la même façon :

$$n_{eau} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu_{eau} \epsilon_{eau}}}}$$

En réarrangeant :

$$n_{eau} = \sqrt{\frac{\mu_{eau} \epsilon_{eau}}{\mu_0 \epsilon_0}}$$

Le terme $\mu_0$ et $\mu_{eau}$ sont les perméabilités magnétiques du vide et de l’eau et sont pratiquement égales entre elles. On peut donc les ignorer. On tombe alors sur la relation suivante :

$$n_{eau} = \sqrt{\frac{\epsilon_{eau}}{\epsilon_0}}$$

Où :

D’où on a enfin : $n_{eau} = \sqrt{\frac{1,77}{1}} \approx 1,33$

Cette valeur 1,33 correspond bien à l’indice de réfraction de l’eau.
De plus, en appliquant un peu de trigonométrie sur E', E't et E'n, on retrouve les lois de Descartes : $n_{air}\cdot sin(\theta_1) = n_{eau}\cdot sin(\theta_2)$.

On a donc montré que la direction du rayon transmis dans l’eau (déterminé par $\theta_2$) change, et l’importance du changement de direction est directement lié à $n$ et donc à la permittivité diélectrique de l’eau $\epsilon_{eau}$.

Conclusion

Ce qui importe ici c’est d’avoir compris deux choses.

Premièrement, la lumière ne part pas d’un point A pour se rendre à un point B. Elle part d’un point A, et sa trajectoire passe par le point B. C’est tout.

C’est une question de formulation. Cette seconde formulation me semble préférable, car elle évite l’ambiguïté qui pousse à penser que la lumière serait capable de choisir une trajectoire optimisée en fonction de son point de départ et son point d’arrivée. De plus, le « point d’arrivé » n’existe pas en fait : la lumière se forme puis elle avance sans savoir où elle va.

Ceci pour enfoncer le clou à l’idée selon laquelle la lumière « choisit » la trajectoire la moins fatigante (en référence au principe de Fermat et au principe de moindre action). Le principe de Fermat est juste : le trajet pris par la lumière est le plus rapide, mais ce n’est pas ça qui fait que la lumière l’emprunte.

Il ne faut pas inverser les choses : l’équation est venue après le phénomène physique, pas avant. Le phénomène physique c’est « la lumière progresse et emprunte certains trajets préférentiellement à d’autres ». L’équation ne fait que décrire ce trajet, à la fois qualitativement (« c’est le trajet le plus rapide ») et quantitativement (en décrivant sa trajectoire en termes d’angles et de grandeurs physiques).

Si le principe de Fermat est vrai, c’est juste parce que la nature tend à distribuer l’énergie de façon la plus uniforme possible, qui est une façon de dire que les différents systèmes vont tous tendre vers leur état le plus stable possible. Pour la lumière, ça consiste à emprunter le chemin le plus rapide dans le temps. C’est ça la vraie raison.

Secondement, pour ce qui est de l’origine de l’angle de réfraction, de la raison pour laquelle la lumière se courbe en passant d’un milieu transparent à un autre, c’est une question qu’il est possible de répondre grâce à la théorie de Maxwell.
Si j’avais à la résumer en une phrase, je dirais que « la composante normale [perpendiculaire] du champ électrique est la seule à être réduite — par un facteur $\epsilon$, propre au milieu — alors que la composante tangentielle n’est pas altérée ».

Pour aller plus loin

J’ai dit plus haut que l’indice de réfraction (l’angle de déviation) dépendait du milieu et en particulier de sa permittivité diélectrique. Cette permittivité est propre au milieu, mais il y en a une pour chaque fréquence d’onde électromagnétique.
Ainsi, selon la fréquence d’une onde, cette dernière est plus ou moins réfractée. Certaines ondes peuvent même être réfractées vers l’extérieur (réfléchies, donc).

Concernant le visible, l’eau par exemple, réfracte davantage la lumière bleue que le rouge. Une lumière blanche qui arrive sur une goutte d’eau voit donc le bleu très dévié, le vert/jaune dévié et le rouge peu dévié. Chaque couleur composant la lumière blanche suit alors sa propre trajectoire : la lumière blanche est décomposée. C’est comme ça que naissent les arcs-en-ciel !

Enfin, quand la lumière passe d’un milieu à autre mais que les indices de réfraction de ces milieux sont les mêmes, alors l’onde lumineuse n’est pas déviée. Quand c’est le cas, il est très difficile de distinguer l’interface entre les deux milieux. Pour le dire autrement, les deux milieux, bien que distincts, semblent ne faire qu’un.
C’est ce que l’on observe avec les billes de polymère super-absorbants que l’on plonge dans l’eau : la lumière n’étant pas déviée, les billes semblent fondre dans l’eau.

Ressources

Image d’en-tête : travail personnel.

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